Cálculo Exemplos

$\sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \cos (2 x) \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f''' (x) = - 8 \cos (2 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$8 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 4.3.5

Multiplique $16$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 16 \sin (2 x)$