Cálculo Exemplos

$2 \sin (x) + \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Etapa 3.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \cos (x) - 4 (2 \cdot \cos (2 x))$

Etapa 3.3.7

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f''' (x) = - 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (x) - 8 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \sin (x) - 8 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 4.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \sin (x) - 8 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 4.3.7

Multiplique $- 2$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = 2 \sin (x) + 16 \sin (2 x)$