Cálculo Exemplos

$y = 10 x^{3} + 9 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{3} + 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{3}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $10$ .

$30 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 x^{2} + 9 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$f' (x) = 30 x^{2} + 18 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $30 x^{2} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $30 x^{2}$ em relação a $x$ é $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $30$ .

$60 x + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x + 18 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x + 18 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 x + 18$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x + 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $60$ por $1$ .

$60 + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$60 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $60$ e $0$ .

$f''' (x) = 60$

Etapa 4

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$