Cálculo Exemplos

$10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{9} y^{5} + 7 x^{4} y^{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{9} y^{5}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $10 y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{9} y^{5}$ em relação a $x$ é $10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$10 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$10 y^{5} (9 x^{8}) + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $9$ por $10$ .

$90 y^{5} x^{8} + \frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{4} y^{8}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $7 y^{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{4} y^{8}$ em relação a $x$ é $7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$90 y^{5} x^{8} + 7 y^{8} (4 x^{3})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$90 y^{5} x^{8} + 28 y^{8} x^{3}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $90 x^{8} y^{5} + 28 y^{8} x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [90 x^{8} y^{5}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $90 y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $90 x^{8} y^{5}$ em relação a $x$ é $90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$90 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$90 y^{5} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $8$ por $90$ .

$720 y^{5} x^{7} + \frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 y^{8} x^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $28 y^{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 y^{8} x^{3}$ em relação a $x$ é $28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$720 y^{5} x^{7} + 28 y^{8} (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $28$ .

$720 y^{5} x^{7} + 84 y^{8} x^{2}$

Etapa 2.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = 720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $720 x^{7} y^{5} + 84 y^{8} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [720 x^{7} y^{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $720 y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $720 x^{7} y^{5}$ em relação a $x$ é $720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$720 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$720 y^{5} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $7$ por $720$ .

$5040 y^{5} x^{6} + \frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [84 y^{8} x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $84 y^{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $84 y^{8} x^{2}$ em relação a $x$ é $84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 84 y^{8} (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $84$ .

$5040 y^{5} x^{6} + 168 y^{8} x$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$f''' (x) = 5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5040 x^{6} y^{5} + 168 y^{8} x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

$\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5040 x^{6} y^{5}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $5040 y^{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5040 x^{6} y^{5}$ em relação a $x$ é $5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5040 y^{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$5040 y^{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $6$ por $5040$ .

$30240 y^{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [168 y^{8} x]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $168 y^{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $168 y^{8} x$ em relação a $x$ é $168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8} \cdot 1$

Etapa 4.3.3

Multiplique $168$ por $1$ .

$30240 y^{5} x^{5} + 168 y^{8}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$f^{4} (x) = 168 y^{8} + 30240 x^{5} y^{5}$