Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Etapa 3.3.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 1 + \ln (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \ln (x)$