Cálculo Exemplos

$y = x^{2} \sin (8 x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (8 x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (8 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \cdot 1)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \cdot 8) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.3.2

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (8 x)$ .

$x^{2} (8 \cdot \cos (8 x)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (8 \cos (8 x)) + \sin (8 x) (2 x)$

Etapa 3.3.5

Reordene os termos.

$8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$