Cálculo Exemplos

$(10 - x) y^{2} = x^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ((10 - x) y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 10 - x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$(10 - x) \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$(10 - x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(10 - x) (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(10 - x) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.3

Mova $2$ para a esquerda de $10 - x$ .

$2 \cdot (10 - x) y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [10 - x]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.6

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 2.7

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (10 - x) y y' + y^{2} \cdot - 1$

Etapa 2.10.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - 1 \cdot y^{2}$

Etapa 2.10.3

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$2 (10 - x) y y' - y^{2}$

Etapa 2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 10 + 2 (- x)) y y' - y^{2}$

Etapa 2.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 10 y + 2 (- x) y) y' - y^{2}$

Etapa 2.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 10 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Etapa 2.11.4

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Multiplique $2$ por $10$ .

$20 y y' + 2 (- x) y y' - y^{2}$

Etapa 2.11.4.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$20 y y' - 2 x y y' - y^{2}$

Etapa 2.11.5

Reordene os termos.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- y^{2} + 20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2}$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$20 y y' - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.2

Fatore $2 y y'$ de $20 y y' - 2 x y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 y y'$ de $20 y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 - 2 x y y' = 3 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 y y'$ de $- 2 x y y'$ .

$2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 y y'$ de $2 y y' \cdot 10 + 2 y y' (- x)$ .

$2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ por $2 y (10 - x)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 y y' (10 - x) = 3 x^{2} + y^{2}$ por $2 y (10 - x)$ .

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y' (10 - x)}{2 y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (10 - x)}{y (10 - x)} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $10 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (10 - x)}{10 - x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y^{2}}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{2 y (10 - x)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $y$ de $2 y (10 - x)$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y \cdot y}{y (2 (10 - x))}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y (10 - x)} + \frac{y}{2 (10 - x)}$