Cálculo Exemplos

${(x y + 1)}^{3} = x - y^{2} + 8$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x y + 1)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x - y^{2} + 8)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y + 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x y + 1]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y + 0)$

Etapa 2.8

Some $x y' + y$ e $0$ .

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$1 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 3.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 - 2 y y' + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Some $1 - 2 y y'$ e $0$ .

$1 - 2 y y'$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$- 2 y y' + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y)$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + 3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y' + y) = - 2 y y' + 1$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y = - 2 y y' + 1$

Etapa 5.1.4

Reordene os fatores em $3 {(x y + 1)}^{2} (x y') + 3 {(x y + 1)}^{2} y$ .

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} = - 2 y y' + 1$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que contêm $y'$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $2 y y'$ aos dois lados da equação.

$3 x y' {(x y + 1)}^{2} + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1

Reescreva ${(x y + 1)}^{2}$ como $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x y' ((x y + 1) (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.2

Expanda $(x y + 1) (x y + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.1.1

Mova $x$ .

$3 x y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.3.1.2.1

Mova $y$ .

$3 x y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.4

Multiplique $x y$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.1.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.3.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 x y' (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x y' (x^{2} y^{2}) + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1.1

Mova $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2 + 1} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.1.3

Some $2$ e $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x y' (2 x y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.2.1

Mova $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 (x \cdot x) y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' \cdot 1 + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.5.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 3 x^{2} y' (2 y) + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y {(x y + 1)}^{2} + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.7

Reescreva ${(x y + 1)}^{2}$ como $(x y + 1) (x y + 1)$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y ((x y + 1) (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.8

Expanda $(x y + 1) (x y + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y + 1) + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y + 1)) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x y (x y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.2.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.9.1.1.1

Mova $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y \cdot y + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.9.1.2.1

Mova $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y \cdot 1 + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + 1 (x y) + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.4

Multiplique $x y$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1 \cdot 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.1.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + x y + x y + 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.9.2

Some $x y$ e $x y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2} + 2 x y + 1) + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.10

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y (x^{2} y^{2}) + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.1.1

Mova $y^{2}$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.1.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.1.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 (y^{2} y^{1}) x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{2 + 1} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.1.3

Some $2$ e $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y (2 x y) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.2.1

Mova $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 (y \cdot y) (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y \cdot 1 + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.11.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 y^{2} (2 x) + 3 y + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 3 \cdot 2 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Etapa 5.2.2.12.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y^{3} x^{2} + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $3 y^{3} x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 6 y^{2} x + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $6 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 3 y + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x$

Etapa 5.3.3

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $3 x^{3} y' y^{2} + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $3 x^{3} y' y^{2}$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + 6 x^{2} y' y + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $6 x^{2} y' y$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + 3 x y' + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $3 x y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + 2 y y' = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.4

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.5

Fatore $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2}) + y' (6 x^{2} y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.6

Fatore $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y) + y' (3 x)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.4.7

Fatore $y'$ de $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x) + y' (2 y)$ .

$y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ por $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y) = 1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y$ por $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

$\frac{y' (3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y)}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} + \frac{- 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3.2

Combine em uma fração.

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Etapa 5.5.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2}}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y} - \frac{3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 5.5.3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 3 y^{3} x^{2} - 6 y^{2} x - 3 y}{3 x^{3} y^{2} + 6 x^{2} y + 3 x + 2 y}$