Cálculo Exemplos

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 (x^{2} - y^{2})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 (x^{2} - y^{2}))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.6.2

Reordene os fatores de $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100 (x^{2} - y^{2})$ em relação a $x$ é $100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$100 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$100 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Etapa 3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$100 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$100 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$100 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$100 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$100 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$100 (2 x - 2 y y')$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$100 (2 x) + 100 (- 2 y y')$

Etapa 3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $2$ por $100$ .

$200 x + 100 (- 2 y y')$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 2$ por $100$ .

$200 x - 200 y y'$

Etapa 3.5.3

Reordene os termos.

$- 200 y y' + 200 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.3

Expanda $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.5

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.6

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.7.1

Mova $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.7.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.1.4.8

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = - 200 y y' + 200 x$

Etapa 5.2

Some $200 y y'$ aos dois lados da equação.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $12 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $12 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $4 y y'$ de $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' + 200 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $4 y y'$ de $12 y y' x^{2}$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 12 y^{3} y' + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $4 y y'$ de $12 y^{3} y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 200 y y' = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $4 y y'$ de $200 y y'$ .

$4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $4 y y'$ de $4 y y' (3 x^{2}) + 4 y y' (3 y^{2})$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50 = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $4 y y'$ de $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2}) + 4 y y' \cdot 50$ .

$4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) = 200 x - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ por $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$\frac{4 y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.2.3

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 3 y^{2} + 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{200 x}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $200$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1

Fatore $4$ de $200 x$ .

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (50 x)}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.4

Cancele o fator comum de $- 12$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.4.1

Fatore $4$ de $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.4.2.1

Fatore $4$ de $4 y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50))}$

Etapa 5.5.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.5.1

Fatore $y$ de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.5.3.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{- 3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Etapa 5.5.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$

Etapa 5.5.3.2

Para escrever $- \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50} \cdot \frac{y}{y}$

Etapa 5.5.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.5.3.3.1

Multiplique $\frac{3 x y}{3 x^{2} + 3 y^{2} + 50}$ por $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y}$

Etapa 5.5.3.3.2

Reordene os fatores de $(3 x^{2} + 3 y^{2} + 50) y$ .

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} - \frac{3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{3 x^{3}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)} + \frac{50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y \cdot y}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.6

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.3.6.1

Mova $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x (y \cdot y)}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.6.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$y' = \frac{- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.7

Fatore $x$ de $- 3 x^{3} + 50 x - 3 x y^{2}$ .

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Etapa 5.5.3.7.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.7.2

Fatore $x$ de $50 x$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 - 3 x y^{2}}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.7.3

Fatore $x$ de $- 3 x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50 + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.7.4

Fatore $x$ de $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.7.5

Fatore $x$ de $x (- 3 x^{2} + 50) + x (- 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 3 x^{2} + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.8

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) + 50 - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.9

Reescreva $50$ como $- 1 (- 50)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.10

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.11

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.12

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 50) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.3.13.1

Reescreva $- (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ como $- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2}))}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 5.5.3.13.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x^{2} - 50 + 3 y^{2})}{y (3 x^{2} + 3 y^{2} + 50)}$