Cálculo Exemplos

$s = {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} ({(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2

A derivada de $s$ em relação a $t$ é $s'$ .

$s'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{2}{3}}$ e $g (t) = 11 t - t^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $11 t - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $11 t - t^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.6.3

Mova ${(11 t - t^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d t} [11 t - t^{2}]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 t - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d t} [11 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 3.8

Como $11$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $11 t$ em relação a $t$ é $11 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 3.10

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Etapa 3.11

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - (2 t))$

Etapa 3.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Reordene os fatores de $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}} (11 - 2 t)$ .

$(11 - 2 t) \frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.14.2

Multiplique $11 - 2 t$ por $\frac{2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(11 - 2 t) \cdot 2}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.14.3

Mova $2$ para a esquerda de $11 - 2 t$ .

$\frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$s' = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Substitua $s'$ por $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 (11 - 2 t)}{3 {(11 t - t^{2})}^{\frac{1}{3}}}$