Cálculo Exemplos

$\sqrt{x + y} = 1 + x^{2} y^{2}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + y}$ como ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 1 + x^{2} y^{2}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2} y^{2})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.6

Combine frações.

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Etapa 3.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.6.3

Mova ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.9

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Etapa 3.10

Simplifique.

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Etapa 3.10.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.10.2

Multiplique $1 + y'$ por $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2} y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$0 + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 4.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)$

Etapa 4.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$0 + 2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Etapa 4.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$0 + 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Etapa 4.3

Some $0$ e $2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum de ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$1 + y' = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.4

Reordene $1$ e $y'$ .

$y' + 1 = (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $(2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' + 1 = 2 x^{2} y y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y^{2} x (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.3

Mova $y$ .

$y' + 1 = 4 x^{2} y' y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.4

Mova $x^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 y^{2} x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.5

Mova $y^{2}$ .

$y' + 1 = 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Subtraia $4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$y' + 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 6.3.3

Fatore $y'$ de $y' - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 6.3.3.2

Fatore $y'$ de $- 4 y' x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Etapa 6.3.4

Divida cada termo em $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ por $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ por $1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 6.3.4.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x y^{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 4 x^{2} y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$