Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1 - x^{2}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}] - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- (2 x)) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - (1 - x^{2}) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 (1 - x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) + (- 2 \cdot 1 - 2 (- x^{2})) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (- 2 x) + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$\frac{- 2 x + x^{2} (- 2 x) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 2 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{2}) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1.5.1

Mova $x$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.4.1.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{1 + 2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.5.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x - 2 (- x^{3})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos opostos em $- 2 x - 2 x^{3} - 2 x + 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 0}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.2.2

Some $- 2 x - 2 x$ e $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$