Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2} - 4}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{5} - 7 x^{2} - 4$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 7 x^{2} - 4] - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 7 x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.9

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x + 0) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.10

Some $15 x^{4} - 14 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.12.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2

Fatore $x$ de $x^{2} (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x$ .

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Etapa 2.12.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (15 x^{4} - 14 x)$ .

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x)) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4) x$ .

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x)) + x (- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x^{4}}$

Etapa 2.12.2.3

Fatore $x$ de $x (x (15 x^{4} - 14 x)) + x (- 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))$ .

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x^{4}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (15 x^{4} - 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4)}{x^{3}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5} - 7 x^{2} - 4)}{x^{3}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (15 x^{4}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 x \cdot x^{4} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{15 (x^{4} x) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{15 (x^{4} x^{1}) + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{15 x^{4 + 1} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $4$ e $1$ .

$\frac{15 x^{5} + x (- 14 x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{15 x^{5} - 14 x \cdot x - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 (x \cdot x) - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 2 (3 x^{5}) - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} - 2 \cdot - 4}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} + 8}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $15 x^{5} - 14 x^{2} - 6 x^{5} + 14 x^{2} + 8$ .

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Etapa 4.3.2.1

Some $- 14 x^{2}$ e $14 x^{2}$ .

$\frac{15 x^{5} - 6 x^{5} + 0 + 8}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $15 x^{5} - 6 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{15 x^{5} - 6 x^{5} + 8}{x^{3}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $6 x^{5}$ de $15 x^{5}$ .

$\frac{9 x^{5} + 8}{x^{3}}$