Cálculo Exemplos

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.2

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.4

Como $\frac{5}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{8 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.8

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.8.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.10

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.10.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.10.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.11

Combine $- 3$ e $\frac{5}{8}$ .

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.12

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.13

Combine $\frac{- 15}{8}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.14

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$