Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\sin (\sqrt{x})}$

Etapa 1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin (x^{\frac{1}{2}})}$ como ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 7.3

Mova ${\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 8.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 9.1

Combine $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{1}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 13

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 16

Multiplique $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 17

Multiplique.

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Etapa 17.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 17.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Reordene os termos.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}} {\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.2

Separe as frações.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.3

Converta de $\frac{1}{{\sin (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ em ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}} {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 18.4

Combine $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ e ${\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18.5

Reordene os fatores em $\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) {\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{\csc (x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})}{4 x^{\frac{1}{2}}}$