Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5] - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5] - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5] - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10 + 0) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.11

Some $3 x^{2} - 6 x + 10$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10) - (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.13

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) x}{x^{4}}$

Etapa 2.13.2

Fatore $x$ de $x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) x$ .

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Etapa 2.13.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (3 x^{2} - 6 x + 10)$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x + 10)) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) x}{x^{4}}$

Etapa 2.13.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5) x$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x + 10)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5))}{x^{4}}$

Etapa 2.13.2.3

Fatore $x$ de $x (x (3 x^{2} - 6 x + 10)) + x (- 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5))$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5))}{x^{4}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x (3 x^{2} - 6 x + 10) - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 (x^{3} - 3 x^{2} + 10 x - 5)}{x^{3}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (3 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot 10 - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.5

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} + 10 \cdot x - 2 x^{3} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.7

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 20 x - 2 \cdot - 5}{x^{3}}$

Etapa 4.3.1.8

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{3 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 20 x + 10}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2

Combine os termos opostos em $3 x^{3} - 6 x^{2} + 10 x - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 20 x + 10$ .

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Etapa 4.3.2.1

Some $- 6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x - 2 x^{3} + 0 - 20 x + 10}{x^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Some $3 x^{3} + 10 x - 2 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{3 x^{3} + 10 x - 2 x^{3} - 20 x + 10}{x^{3}}$

Etapa 4.3.3

Subtraia $2 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 10 x - 20 x + 10}{x^{3}}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $20 x$ de $10 x$ .

$\frac{x^{3} - 10 x + 10}{x^{3}}$