Cálculo Exemplos

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{4} + 5 x^{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

Etapa 8

Multiplique $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 9

Mova ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.1.1

Mova ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 10.2

Simplifique $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

Etapa 11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Etapa 13

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

Etapa 15

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

Etapa 16.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

Etapa 16.3

Reordene os fatores de $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

Etapa 16.4

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4} + 10 x^{2}$ .

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Etapa 16.4.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

Etapa 16.4.2

Fatore $2 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

Etapa 16.4.3

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ .

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.5

Multiplique $4 x^{3} + 10 x$ por $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ .

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.6.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} + 10 x$ .

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Etapa 16.6.1.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.6.1.2

Fatore $2 x$ de $10 x$ .

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.6.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ .

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.7

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 16.7.1

Fatore $2$ de $6 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.7.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Etapa 16.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

Etapa 16.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.8

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 16.8.1

Fatore $x$ de $3 x (2 x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

Etapa 16.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 16.8.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x^{2} + 5)$ .

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Etapa 16.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

Etapa 16.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$