Cálculo Exemplos

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Etapa 2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Etapa 3

Multiplique $\frac{1 + x^{2}}{x}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $1 + x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 5.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 10

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1 + x^{2}}{x}$ por $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

Etapa 12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Fatore $1 + x^{2}$ de $x {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

Etapa 12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

Etapa 13.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

Etapa 13.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

Etapa 13.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

Etapa 13.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

Etapa 13.3

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$