Cálculo Exemplos

$x e^{\frac{y}{z}}$

Etapa 1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x e^{\frac{y}{z}}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{z}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{y}{z}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = \frac{y}{z}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{y}{z}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{y}{z}$ .

$x (e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Como $\frac{1}{z}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y}{z}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x e^{\frac{y}{z}} (\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 3.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{z}$ e $x$ .

$\frac{x}{z} e^{\frac{y}{z}} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{x}{z}$ e $e^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z}$ por $1$ .

$\frac{x e^{\frac{y}{z}}}{z}$