Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 48 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.2.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $12 x^{2} - 48$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $48$ aos dois lados da equação.

$12 x^{2} = 48$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $12 x^{2} = 48$ por $12$ e simplifique.

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Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $12 x^{2} = 48$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ .

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Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Etapa 1.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.3.1

Divida $48$ por $12$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.5

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 48$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 48$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 192 - 48$

Etapa 4.2.2

Subtraia $48$ de $192$ .

$f'' (- 4) = 144$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $144$ .

$144$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Etapa 5.2.2

Subtraia $48$ de $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 48$ .

$- 48$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 2)$ porque $f'' (0)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 48$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 48$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$f'' (4) = 192 - 48$

Etapa 6.2.2

Subtraia $48$ de $192$ .

$f'' (4) = 144$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $144$ .

$144$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 2, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8