Cálculo Exemplos

$x^{8 x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 1.1

Reescreva $x^{8 x}$ como $e^{\ln (x^{8 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{8 x})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{8 x})$ movendo $8 x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \ln (x)}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x \ln (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x \ln (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [8 x \ln (x)]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x \ln (x)$ .

$e^{8 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [8 x \ln (x)]$

Etapa 3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 5

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 6.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{8 x \ln (x)} (8 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{8 x \ln (x)} (8 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Etapa 6.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{8 x \ln (x)} (8 (1 + \ln (x)))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{8 x \ln (x)} (8 \cdot 1 + 8 \ln (x))$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{8 x \ln (x)} (8 \cdot 1) + e^{8 x \ln (x)} (8 \ln (x))$

Etapa 7.3

Combine os termos.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$e^{8 x \ln (x)} \cdot 8 + e^{8 x \ln (x)} (8 \ln (x))$

Etapa 7.3.2

Mova $8$ para a esquerda de $e^{8 x \ln (x)}$ .

$8 e^{8 x \ln (x)} + e^{8 x \ln (x)} (8 \ln (x))$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$8 e^{8 x \ln (x)} \ln (x) + 8 e^{8 x \ln (x)}$