Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 5}{3 x - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + 5$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x - 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(3 x - 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 x - 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $6 x - 4 - 6 x - 15$ .

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$\frac{0 - 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $15$ de $- 4$ .

$\frac{- 19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$