Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique $- 3 \ln (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

Etapa 3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

Etapa 3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{x^{2} + 1}{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

Etapa 4

Reescreva $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

Etapa 5

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

Etapa 6

Simplifique $e^{0} (2 x^{3})$ .

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Etapa 6.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

Etapa 6.2

Multiplique $2 x^{3}$ por $1$ .

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

Etapa 7

Subtraia $2 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

Etapa 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1

Reordene os termos.

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Etapa 8.2

Fatore $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 8.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 8.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Etapa 8.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 8.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

Etapa 8.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 + 1^{2} + 1$

Etapa 8.2.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 2 + 1 + 1$

Etapa 8.2.3.5

Some $- 2$ e $1$ .

$- 1 + 1$

Etapa 8.2.3.6

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 8.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

Etapa 8.2.5

Divida $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ por $x - 1$ .

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Etapa 8.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 8.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Etapa 8.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 8.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 8.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Etapa 8.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 8.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 8.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 8.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

Etapa 8.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 8.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 8.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 8.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 1$ .

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 8.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Etapa 8.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- 2 x^{2} - x - 1$

Etapa 8.2.6

Escreva $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

Etapa 9

Simplifique $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ .

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Etapa 9.1

Expanda $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 9.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.2.1.4.1

Mova $x$ .

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.6

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.8

Multiplique $- 1 (- x)$ .

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Etapa 9.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.8.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 9.2.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 9.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 9.2.2.1

Combine os termos opostos em $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Some $- x$ e $x$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

Etapa 9.2.2.1.2

Some $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 9.2.2.2

Some $- x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $- 1$ de $- 2 x^{3}$ .

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

Etapa 10.1.2

Fatore $- 1$ de $x^{2}$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

Etapa 10.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 10.1.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 10.1.5

Fatore $- 1$ de $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

Etapa 10.2

Fatore.

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Etapa 10.2.1

Fatore $2 x^{3} - x^{2} - 1$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 10.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5$

Etapa 10.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 10.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

Etapa 10.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

Etapa 10.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 1^{2} - 1$

Etapa 10.2.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

Etapa 10.2.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 - 1$

Etapa 10.2.1.3.6

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 - 1$

Etapa 10.2.1.3.7

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 10.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

Etapa 10.2.1.5

Divida $2 x^{3} - x^{2} - 1$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 10.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 10.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 10.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 10.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 10.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 10.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

Etapa 10.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 10.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 10.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

Etapa 10.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 10.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 10.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Etapa 10.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Etapa 10.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Etapa 10.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} + x + 1$

Etapa 10.2.1.6

Escreva $2 x^{3} - x^{2} - 1$ como um conjunto de fatores.

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

Etapa 10.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 12.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 13

Defina $2 x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $2 x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 x^{2} + x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 13.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 13.2.2

Substitua os valores $a = 2$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3

Simplifique.

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Etapa 13.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Etapa 13.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Etapa 13.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 13.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$