Cálculo Exemplos

$\ln (\sec (x))$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Em qualquer $y = \sec (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \ln (\sec (x))$ . Defina a parte interna da função secante, $b x + c$ , para $y = a \sec (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \ln (\sec (x))$ .

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Avalie $arcsec (- \frac{π}{2})$ .

$x = 2.26090341$

Etapa 1.2.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Etapa 1.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 2.26090341$ .

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Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $2.26090341$ de $6.2831853$ .

$x = 4.02228188$

Etapa 1.2.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função secante $\sec (x)$ como igual a $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Avalie $arcsec (\frac{3 π}{2})$ .

$x = 1.3569639$

Etapa 1.4.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Etapa 1.4.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.3569639$ .

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Etapa 1.4.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

Etapa 1.4.4.2.2

Subtraia $1.3569639$ de $6.2831853$ .

$x = 4.9262214$

Etapa 1.4.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 1.4.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.4.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.4.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.4.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.4.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.5

O período básico para $y = \ln (\sec (x))$ ocorrerá em $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ , em que $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ e $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ são assíntotas verticais.

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 1.6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.6.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = \ln (\sec (x))$ ocorrem em $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ , $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ e a cada $π n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$π n$

Etapa 1.8

Existem somente assíntotas verticais para funções secantes e cossecantes.

Assíntotas verticais: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (\sec (1))$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Avalie $\sec (1)$ .

$f (1) = \ln (1.85081571)$

Etapa 2.2.2

A resposta final é $\ln (1.85081571)$ .

$\ln (1.85081571)$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 5$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \ln (\sec (5))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Avalie $\sec (5)$ .

$f (5) = \ln (3.52532008)$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\ln (3.52532008)$ .

$\ln (3.52532008)$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 6$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \ln (\sec (6))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Avalie $\sec (6)$ .

$f (6) = \ln (1.04148192)$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\ln (1.04148192)$ .

$\ln (1.04148192)$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ e os pontos $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ .

Assíntota vertical: $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

Etapa 6