Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x}{x - 5}$ , $(7, 14)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 7$ e $y = 14$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x}{x - 5}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - 5$ .

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.4.1

Subtraia $5$ de $0$ .

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

Etapa 1.3.6.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.5

Combine $- 4$ e $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.6.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 7$ .

$- \frac{20}{{((7) - 5)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $5$ de $7$ .

$- \frac{20}{2^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{20}{4}$

Etapa 1.5.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.2.1

Divida $20$ por $4$ .

$- 1 \cdot 5$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 5$ e um ponto determinado $(7, 14)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - 5 \cdot (x - (7))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 5 \cdot (x - 7)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 14 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 7)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 14 = - 5 x - 5 \cdot - 7$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 7$ .

$y - 14 = - 5 x + 35$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $14$ aos dois lados da equação.

$y = - 5 x + 35 + 14$

Etapa 2.3.2.2

Some $35$ e $14$ .

$y = - 5 x + 49$

Etapa 3