Cálculo Exemplos

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = - x^{2} + 1$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ como $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ .

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

Etapa 2.2

Expanda $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- x^{2}$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

Etapa 2.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 6

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ e $x]_{- 1}^{1}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Etapa 10.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\frac{x^{5}}{5} + x$ em $1$ e em $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Etapa 10.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $1$ e em $- 1$ .

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.4

Some $1$ e $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.5

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.10.2

Subtraia $5$ de $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.13

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $1$ .

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.15

Some $6$ e $6$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Etapa 10.2.3.17

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Etapa 10.2.3.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 10.2.3.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Etapa 10.2.3.20

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Etapa 10.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

Etapa 10.2.3.22

Some $1$ e $1$ .

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

Etapa 10.2.3.23

Combine $- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

Etapa 10.2.3.24

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

Etapa 10.2.3.25

Mova o número negativo para a frente da fração.

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

Etapa 10.2.3.26

Para escrever $\frac{12}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

Etapa 10.2.3.27

Para escrever $- \frac{4}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.28

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.3.28.1

Multiplique $\frac{12}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.28.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Etapa 10.2.3.28.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Etapa 10.2.3.28.4

Multiplique $3$ por $5$ .

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.29

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.30

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.3.30.1

Multiplique $12$ por $3$ .

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

Etapa 10.2.3.30.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

Etapa 10.2.3.30.3

Subtraia $20$ de $36$ .

$V = π (\frac{16}{15})$

Etapa 10.2.3.31

Combine $π$ e $\frac{16}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

Etapa 10.2.3.32

Mova $16$ para a esquerda de $π$ .

$V = \frac{16 π}{15}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{16 π}{15}$

Forma decimal:

$V = 3.35103216 \dots$

Etapa 12