Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2

Resolva $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Elimine os expoentes fracionários multiplicando os dois expoentes pelo MMC.

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.3.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{5} = 81 x^{1}$

Etapa 1.2.3.4

Simplifique.

$x^{5} = 81 x$

Etapa 1.2.4

Subtraia $81 x$ dos dois lados da equação.

$x^{5} - 81 x = 0$

Etapa 1.2.5

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $x$ de $x^{5} - 81 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

Etapa 1.2.5.1.2

Fatore $x$ de $- 81 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

Etapa 1.2.5.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ .

$x (x^{4} - 81) = 0$

Etapa 1.2.5.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

Etapa 1.2.5.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

Etapa 1.2.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 9$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

Etapa 1.2.5.5

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.5.1.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

Etapa 1.2.5.5.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

Etapa 1.2.5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

Etapa 1.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.2.7

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.8

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Defina $x^{2} + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Etapa 1.2.8.2

Resolva $x^{2} + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 9$

Etapa 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Etapa 1.2.8.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Etapa 1.2.8.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.8.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Etapa 1.2.8.2.3.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.2.8.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Etapa 1.2.8.2.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Etapa 1.2.8.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i$

Etapa 1.2.8.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i$

Etapa 1.2.8.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i, - 3 i$

Etapa 1.2.9

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.9.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.10

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.10.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.11

A solução final são todos os valores que tornam $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.3.2

Substitua $0$ por $x$ em $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 1.3.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 \cdot 0^{1}$

Etapa 1.3.2.2.3

Avalie o expoente.

$y = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $3 i$ por $x$ .

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Aplique a regra do produto a $3 i$ .

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

Etapa 1.4.2.2

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Mova $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2.2.2

Multiplique $3^{\frac{1}{4}}$ por $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.4.2.2.5

Some $1$ e $4$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - 3 i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- 3 i$ por $x$ .

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.5.2

Aplique a regra do produto a $- 3 i$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.6

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.7

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.7.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.7.2.2

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.2.1

Multiplique $3$ por $3^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

Etapa 1.7.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

Etapa 1.7.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Etapa 1.7.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

Etapa 1.7.2.2.4

Some $4$ e $1$ .

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

Etapa 1.8

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3