Cálculo Exemplos

$y = 4 - x^{2}$ , $y = x - 2$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$4 - x^{2} = x - 2$

Etapa 1.2

Resolva $4 - x^{2} = x - 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$4 - x^{2} - x = - 2$

Etapa 1.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 - x^{2} - x + 2 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $4$ e $2$ .

$- x^{2} - x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2} - x + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Etapa 1.2.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3 + y = x - 2$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x - 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 2) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = (2) - 2$

Etapa 1.3.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = (2) - 2$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 2 - 2$

Etapa 1.3.2.2

Remova os parênteses.

$y = (2) - 2$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = (- 3) - 2$

Etapa 1.4.2

Substitua $- 3$ por $x$ em $y = (- 3) - 2$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 3 - 2$

Etapa 1.4.2.2

Remova os parênteses.

$y = (- 3) - 2$

Etapa 1.4.2.3

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$y = - 5$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

$(2, 0)$

$(- 3, - 5)$

Etapa 2

Reordene $4$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 3}^{2} x - 2 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - (x - 2) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 4 - x - - 2$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- x^{2} + 4 - x + 2$

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} + 4 - x + 2 d x$

Etapa 4.3

Some $4$ e $2$ .

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} - x + 6 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 3}^{2} x^{2} d x + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} - x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - \int_{- 3}^{2} x d x + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + \int_{- 3}^{2} 6 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- 3$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 6 x]_{- 3}^{2}$

Etapa 4.12.3

Avalie $6 x$ em $2$ e em $- 3$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

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Etapa 4.12.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.2

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 27}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.3.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 9}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.3.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- (\frac{8}{3} - - 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$- (\frac{8}{3} + 9) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.5

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.6

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8 + 9 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.8.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{8 + 27}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.8.2

Some $8$ e $27$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{35}{3} - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.11

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- \frac{35}{3} - (2 - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.12

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.13

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{35}{3} - \frac{2 \cdot 2 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.15.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{4 - 9}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.15.2

Subtraia $9$ de $4$ .

$- \frac{35}{3} - \frac{- 5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{35}{3} - - \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.17

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{35}{3} + 1 (\frac{5}{2}) + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.18

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $1$ .

$- \frac{35}{3} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.19

Para escrever $- \frac{35}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.20

Para escrever $\frac{5}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.21

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.21.1

Multiplique $\frac{35}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.21.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.21.3

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.21.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{35 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 35 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.23

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.23.1

Multiplique $- 35$ por $2$ .

$\frac{- 70 + 5 \cdot 3}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.23.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{- 70 + 15}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.23.3

Some $- 70$ e $15$ .

$\frac{- 55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.24

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{55}{6} + (6 \cdot 2) - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.25

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{55}{6} + 12 - 6 \cdot - 3$

Etapa 4.12.4.26

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$- \frac{55}{6} + 12 + 18$

Etapa 4.12.4.27

Some $12$ e $18$ .

$- \frac{55}{6} + 30$

Etapa 4.12.4.28

Para escrever $30$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + 30 \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 4.12.4.29

Combine $30$ e $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{55}{6} + \frac{30 \cdot 6}{6}$

Etapa 4.12.4.30

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 55 + 30 \cdot 6}{6}$

Etapa 4.12.4.31

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.31.1

Multiplique $30$ por $6$ .

$\frac{- 55 + 180}{6}$

Etapa 4.12.4.31.2

Some $- 55$ e $180$ .

$\frac{125}{6}$

Etapa 5