Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{3} + 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + 8 x + 12}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} + lim_{x \to - 2} 8 x + lim_{x \to - 2} 12}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + lim_{x \to - 2} 8 x + lim_{x \to - 2} 12}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 8 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 12}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} + 8 lim_{x \to - 2} x + 12}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 8 lim_{x \to - 2} x + 12}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 8 \cdot - 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 + 8 \cdot - 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$\frac{0}{4 - 16 + 12}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$\frac{0}{- 12 + 12}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{3} + 8}{x^{2} + 8 x + 12} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 8 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 8 + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.9

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 8 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x + 8$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{3 x^{2}}{2 x + 8}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to - 2} \frac{x^{2}}{2 x + 8}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$3 \frac{lim_{x \to - 2} x^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 8}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + 8}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{lim_{x \to - 2} 2 x + lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$3 \frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 8}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$3 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 lim_{x \to - 2} x + 8}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$3 \frac{{(- 2)}^{2}}{2 \cdot - 2 + 8}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$3 \frac{4}{2 \cdot - 2 + 8}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$3 \frac{4}{- 4 + 8}$

Etapa 4.2.2

Some $- 4$ e $8$ .

$3 (\frac{4}{4})$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{4}{4})$

Etapa 4.3.2

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 1$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$