Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\tan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\tan (0) + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{3 x^{2}}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1 + \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1 + \sec^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Reordene $- 1$ e $\sec^{2} (0)$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sec^{2} (0) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 3.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Etapa 3.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \sec^{2} (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + \sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 + \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.3

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $0$ e $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.5

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.6

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.7

Combine.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.8

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.5.8.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 3.3.5.8.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.8.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.5.8.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 x}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 3.5

Multiplique $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 2 x}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Etapa 4.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) (x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3} \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Etapa 4.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos^{3} (0) \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1^{3} \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.5.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos^{3} (x) (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Etapa 4.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos^{3} (x) (x)]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos^{3} (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\cos^{3} (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]}$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 4.3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 4.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 4.3.7

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot 3 \cos^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x)}$

Etapa 4.3.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos^{3} (x) + x \cdot - 3 \cos^{2} (x) \sin (x)}$

Etapa 4.3.9

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{- 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 3 x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.6

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}$

Etapa 5.9

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}$

Etapa 5.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\cos (0)}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Etapa 7.2.7

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Etapa 7.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 7.2.9

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$