Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Combine os termos opostos em ${(x + 0)}^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Some $x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} - x^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(x + h) (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x (x + h) + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h (x + h) - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h \cdot h - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + x h + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + h x + h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 h x + h^{2} - x^{2}$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2}] + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Como $x^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [2 h x] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d h} [2 h x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $2 x$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $2 h x$ em relação a $h$ é $2 x \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + \frac{d}{d h} [- x^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.9

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10

Simplifique.

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Etapa 1.3.10.1

Combine os termos.

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Etapa 1.3.10.1.1

Some $0$ e $2 x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.1.2

Some $2 x + 2 h$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + 2 x}{1}$

Etapa 1.4

Divida $2 h + 2 x$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + 2 x$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x$

Etapa 2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $2 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h + 2 x$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$2 \cdot 0 + 2 x$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.2

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$