Cálculo Exemplos

$y = {(2 x + 1)}^{4 x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 3.1.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{4 x}$ como $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})$ movendo $4 x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x \ln (2 x + 1)}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x \ln (2 x + 1)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x \ln (2 x + 1)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.5.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Combine $\frac{1}{2 x + 1}$ e $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.7

Combine frações.

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Etapa 3.6.7.1

Some $2$ e $0$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.7.2

Combine $\frac{x}{2 x + 1}$ e $2$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.6.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1))$

Etapa 3.6.9

Multiplique $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)))$

Etapa 3.7

Para escrever $\ln (2 x + 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}))$

Etapa 3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Etapa 3.9

Combine $4$ e $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.10

Combine $e^{4 x \ln (2 x + 1)}$ e $\frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11

Simplifique.

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Etapa 3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.11.2.1

Simplifique $4 \ln (2 x + 1)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.11.2.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.4

Multiplique $\ln (2 x + 1)$ por $1$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.5

Simplifique $2 \ln (2 x + 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.7

Multiplique $4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x)$ .

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Etapa 3.11.2.2.7.1

Reordene $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ e $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.7.2

Simplifique $4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.8

Simplifique $4 \ln (2 x + 1)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.9

Multiplique os expoentes em ${({(2 x + 1)}^{2})}^{4}$ .

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Etapa 3.11.2.2.9.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.2.9.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{8}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.2.5

Reordene os fatores em $8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})$ .

$\frac{8 x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} + x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Etapa 3.11.3

Reordene os termos.

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$