Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(2 - x)}^{2}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x {(2 - x)}^{2} d x$

Etapa 3

Deixe $u = 2 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 2 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 - x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - x]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 3.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - (- u + 2) u^{2} d u$

Etapa 4

Expanda $- (- u + 2) u^{2}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (- - u - 1 \cdot 2) u^{2} d u$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - - u u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.3

Mova os parênteses.

$\int - - 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.5

Multiplique $u$ por $1$ .

$\int u \cdot u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.6

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 2} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.8

Some $1$ e $2$ .

$\int u^{3} - 1 \cdot 2 u^{2} d u$

Etapa 4.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int u^{3} - 2 u^{2} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{3} d u + \int - 2 u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 2 u^{2} d u$

Etapa 7

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 2 \int u^{2} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} u^{4} - 2 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 2}{3} u^{3} + C$

Etapa 9.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{2}{3} u^{3} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x$ .

$\frac{1}{4} {(2 - x)}^{4} - \frac{2}{3} {(2 - x)}^{3} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x {(2 - x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(2 - x)}^{4} - \frac{2}{3} {(2 - x)}^{3} + C$