Cálculo Exemplos

$| x |$

Etapa 1

Escreva $| x |$ como uma função.

$f (x) = | x |$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int | x | d x$

Etapa 4

Defina o argumento no valor absoluto como igual a $0$ para encontrar os possíveis valores para dividir a solução.

$x = 0$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Crie intervalos em torno das soluções para descobrir onde $x$ é positivo e negativo.

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Etapa 5.2

Substitua um valor de cada intervalo em $x$ para descobrir onde a expressão é positiva ou negativa.

$\begin{array}{c} Intervalo & Sinal no intervalo \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

Etapa 5.3

Integre o argumento do valor absoluto.

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a integral com o argumento do valor absoluto.

$\int x d x$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.4

Nos intervalos onde o argumento é negativo, multiplique a solução da integral por $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Etapa 5.6

Simplifique.

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Etapa 6

A resposta é a primitiva da função $f (x) = | x |$ .

$F (x) =$ ${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$