Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local f(x)=(x^2-1)^3
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
Some e .
Etapa 1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.3
Reordene os fatores de .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.4
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.4.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.4.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.4.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.4.1
Some e .
Etapa 2.4.4.2
Multiplique por .
Etapa 2.5
Eleve à potência de .
Etapa 2.6
Eleve à potência de .
Etapa 2.7
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.8
Some e .
Etapa 2.9
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.10
Multiplique por .
Etapa 2.11
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.4
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.4.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.4.1.1
Mova .
Etapa 2.11.4.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.11.4.1.3
Some e .
Etapa 2.11.4.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.4.3
Multiplique por .
Etapa 2.11.4.4
Multiplique por .
Etapa 2.11.4.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.4.6
Multiplique por .
Etapa 2.11.5
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.1
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.2
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.2.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.2.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.2.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.3
Simplifique e combine termos semelhantes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.3.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.3.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.3.1.1.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.11.5.3.1.1.2
Some e .
Etapa 2.11.5.3.1.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.5.3.1.3
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.3.1.4
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.3.1.5
Multiplique por .
Etapa 2.11.5.3.2
Subtraia de .
Etapa 2.11.5.4
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.5
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.5.5.1
Multiplique por .
Etapa 2.11.5.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.11.6
Some e .
Etapa 2.11.7
Subtraia de .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 4.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 4.1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.4.1
Some e .
Etapa 4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.4.3
Reordene os fatores de .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.3
Defina como igual a .
Etapa 5.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.1
Reescreva como .
Etapa 5.4.2.1.2
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 5.4.2.1.3
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.4.2.3
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.3.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.3.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.3.2.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.3.2.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.4.2.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.4.2
Resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.4.2.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.4.2.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 5.4.2.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 5.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.3
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.4
Multiplique por .
Etapa 9.2
Simplifique somando os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Some e .
Etapa 9.2.2
Some e .
Etapa 10
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 11.2.2
Subtraia de .
Etapa 11.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 11.2.4
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.2
Multiplique por .
Etapa 13.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.4
Multiplique por .
Etapa 13.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Subtraia de .
Etapa 13.2.2
Some e .
Etapa 14
Como há pelo menos um ponto com ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 14.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.2.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.2.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.2.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.2.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.2.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.2.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.3.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.3.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.3.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.3.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.3.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.3.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.4.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.4.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.4.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.4.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.4.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.4.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.5
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.5.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.5.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.5.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.5.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.5.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.5.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.6
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 14.7
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 14.8
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 14.9
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um mínimo local
Etapa 15