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Cálculo Exemplos
Etapa 1
Etapa 1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.2
Diferencie.
Etapa 1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.4
Simplifique a expressão.
Etapa 1.2.4.1
Some e .
Etapa 1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.3
Reordene os fatores de .
Etapa 2
Etapa 2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.4
Diferencie.
Etapa 2.4.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.4.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.4.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.4.4
Simplifique a expressão.
Etapa 2.4.4.1
Some e .
Etapa 2.4.4.2
Multiplique por .
Etapa 2.5
Eleve à potência de .
Etapa 2.6
Eleve à potência de .
Etapa 2.7
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.8
Some e .
Etapa 2.9
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.10
Multiplique por .
Etapa 2.11
Simplifique.
Etapa 2.11.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.4
Combine os termos.
Etapa 2.11.4.1
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 2.11.4.1.1
Mova .
Etapa 2.11.4.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.11.4.1.3
Some e .
Etapa 2.11.4.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.4.3
Multiplique por .
Etapa 2.11.4.4
Multiplique por .
Etapa 2.11.4.5
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.4.6
Multiplique por .
Etapa 2.11.5
Simplifique cada termo.
Etapa 2.11.5.1
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.2
Expanda usando o método FOIL.
Etapa 2.11.5.2.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.2.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.2.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.3
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 2.11.5.3.1
Simplifique cada termo.
Etapa 2.11.5.3.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Etapa 2.11.5.3.1.1.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.11.5.3.1.1.2
Some e .
Etapa 2.11.5.3.1.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.11.5.3.1.3
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.3.1.4
Reescreva como .
Etapa 2.11.5.3.1.5
Multiplique por .
Etapa 2.11.5.3.2
Subtraia de .
Etapa 2.11.5.4
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.11.5.5
Simplifique.
Etapa 2.11.5.5.1
Multiplique por .
Etapa 2.11.5.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.11.6
Some e .
Etapa 2.11.7
Subtraia de .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Etapa 4.1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Etapa 4.1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 4.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 4.1.2
Diferencie.
Etapa 4.1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.4
Simplifique a expressão.
Etapa 4.1.2.4.1
Some e .
Etapa 4.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.4.3
Reordene os fatores de .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.3
Defina como igual a .
Etapa 5.4
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 5.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2
Resolva para .
Etapa 5.4.2.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Etapa 5.4.2.1.1
Reescreva como .
Etapa 5.4.2.1.2
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 5.4.2.1.3
Aplique a regra do produto a .
Etapa 5.4.2.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.4.2.3
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 5.4.2.3.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.3.2
Resolva para .
Etapa 5.4.2.3.2.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.3.2.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.4.2.4
Defina como igual a e resolva para .
Etapa 5.4.2.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.4.2
Resolva para .
Etapa 5.4.2.4.2.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2.4.2.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 5.4.2.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 5.5
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 6
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Etapa 9.1
Simplifique cada termo.
Etapa 9.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.3
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.4
Multiplique por .
Etapa 9.2
Simplifique somando os números.
Etapa 9.2.1
Some e .
Etapa 9.2.2
Some e .
Etapa 10
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 11
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Etapa 11.2.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 11.2.2
Subtraia de .
Etapa 11.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 11.2.4
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Etapa 13.1
Simplifique cada termo.
Etapa 13.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.2
Multiplique por .
Etapa 13.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.4
Multiplique por .
Etapa 13.2
Simplifique somando e subtraindo.
Etapa 13.2.1
Subtraia de .
Etapa 13.2.2
Some e .
Etapa 14
Etapa 14.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 14.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 14.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.2.2
Simplifique o resultado.
Etapa 14.2.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.2.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.2.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.2.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.2.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.2.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 14.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.3.2
Simplifique o resultado.
Etapa 14.3.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.3.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.3.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.3.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.3.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.3.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 14.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.4.2
Simplifique o resultado.
Etapa 14.4.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.4.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.4.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.4.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.4.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.4.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.5
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Etapa 14.5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.5.2
Simplifique o resultado.
Etapa 14.5.2.1
Multiplique por .
Etapa 14.5.2.2
Eleve à potência de .
Etapa 14.5.2.3
Subtraia de .
Etapa 14.5.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 14.5.2.5
Multiplique por .
Etapa 14.5.2.6
A resposta final é .
Etapa 14.6
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 14.7
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 14.8
Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de , este não é um máximo local nem um mínimo local.
Não é um máximo nem um mínimo local
Etapa 14.9
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um mínimo local
Etapa 15