Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

Etapa 1.2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

Etapa 1.2.4

Combine frações.

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Etapa 1.2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

Etapa 1.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

Etapa 1.2.4.3

Combine $\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{4} + 27$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.5

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.4

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.4.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

Etapa 2.5

Combine $4$ e $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.4.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.6.4.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.1.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.3

Multiplique $3$ por $27$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.4

Multiplique $81$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.1.5

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 2.6.4.2

Subtraia $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 27$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

Etapa 4.1.2.3

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Combine frações.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

Etapa 4.1.2.4.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

Etapa 4.1.2.4.3

Combine $\frac{4}{x^{4} + 27}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x^{3} = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.3.3

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $324$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $27$ .

$\frac{0}{27^{2}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $27$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{729}$

Etapa 9.3

Divida $0$ por $729$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

Etapa 10.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.2.3.1

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

Etapa 10.2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

Etapa 10.2.2.4

A resposta final é $- \frac{32}{43}$ .

$- \frac{32}{43}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.3.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

Etapa 10.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

Etapa 10.3.2.1.3

Some $2$ e $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $16$ e $27$ .

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

Etapa 10.3.2.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f' (2) = \frac{32}{43}$

Etapa 10.3.2.4

A resposta final é $\frac{32}{43}$ .

$\frac{32}{43}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11