Cálculo Exemplos

$f (x) = \cos (π x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

Etapa 1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- \sin (π x) π$

Etapa 1.2.3.2

Reordene os fatores de $- \sin (π x) π$ .

$- π \sin (π x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π \sin (π x)$ em relação a $x$ é $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $π x$ .

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

Etapa 2.3

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- π \sin (π x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- π \sin (π x) = 0$ por $- π$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- π \sin (π x) = 0$ por $- π$ .

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\sin (π x)$ por $1$ .

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- π$ .

$\sin (π x) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$π x = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$π x = 0$

Etapa 7

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$x = 0$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$π x = π - 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$π x = π + 0$

Etapa 9.1.2

Some $π$ e $0$ .

$π x = π$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $π x = π$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{π}{π}$

Etapa 9.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 1$

Etapa 10

A solução para a equação $π x = 0$ .

$x = 0, 1$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- π^{2} \cos (π (0))$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$- π^{2} \cos (0)$

Etapa 12.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- π^{2} \cdot 1$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- π^{2}$

Etapa 13

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \cos (π (0))$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$f (0) = \cos (0)$

Etapa 14.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- π^{2} \cos (π (1))$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$- π^{2} \cos (π)$

Etapa 16.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- π^{2} (- \cos (0))$

Etapa 16.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- π^{2} \cdot - 1$

Etapa 16.5

Multiplique $- π^{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 16.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 π^{2}$

Etapa 16.5.2

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$π^{2}$

Etapa 17

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \cos (π (1))$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$f (1) = \cos (π)$

Etapa 18.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (1) = - \cos (0)$

Etapa 18.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Etapa 18.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1$

Etapa 18.2.5

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cos (π x)$ .

$(0, 1)$ é um máximo local

$(1, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 20