Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 2 \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Etapa 2.3

Subtraia $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 9

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 10

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \sqrt{3}$

Etapa 12.3

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Etapa 13

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = (\frac{π}{6}) + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 14.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 14.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 16.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 16.3.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Etapa 16.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Etapa 16.4.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3}$

Etapa 17

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = (\frac{5 π}{6}) + 2 \cos (\frac{5 π}{6})$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Etapa 18.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 18.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 18.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 18.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 18.2.2

A resposta final é $\frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{5 π}{6} - \sqrt{3}$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = x + 2 \cos (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ é um máximo local

$(\frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} - \sqrt{3})$ é um mínimo local

Etapa 20