Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Etapa 1

Escreva $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 5$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.5

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 2.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.4.2

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.7

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.4.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.8.2

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.8.3

Some $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.4.8.4

Subtraia $1$ de $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.6.2

Fatore $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $x - 3$ de ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.6.2.2

Fatore $x - 3$ de $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.6.2.3

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

Etapa 3.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.7.1

Fatore $x - 3$ de ${(x - 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.7.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12

Simplifique.

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Etapa 3.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.12.2.1.1

Expanda $(x - 3) (2 x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.12.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.12.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.12.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.1.3

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.2.2

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.4

Expanda $(- 2 x + 10) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.12.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.1.5.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.5.1.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.1.5.2

Some $2 x$ e $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.2

Combine os termos opostos em $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.2.2.1

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.2.2

Some $- 12 x + 18$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.2.3

Some $- 12 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.2.4

Some $0$ e $18$ .

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3.12.2.3

Subtraia $10$ de $18$ .

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Diferencie.

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Etapa 5.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

Simplifique.

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.1.3.5

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 5.1.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 6.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.2

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 6.3.2.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 6.3.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 7.2

Resolva $x$ .

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Etapa 7.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 7.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1.1

Subtraia $3$ de $5$ .

$\frac{8}{2^{3}}$

Etapa 10.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8}{8}$

Etapa 10.2

Divida $8$ por $8$ .

$1$

Etapa 11

$x = 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

Etapa 12.2.1.2

Subtraia $5$ de $25$ .

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

Etapa 12.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{20}{2}$

Etapa 12.2.2.2

Divida $20$ por $2$ .

$f (5) = 10$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.1.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Etapa 14.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{8}{- 8}$

Etapa 14.2

Divida $8$ por $- 8$ .

$- 1$

Etapa 15

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

Etapa 16.2.1.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

Etapa 16.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 16.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

Etapa 16.2.2.2

Divida $- 4$ por $- 2$ .

$f (1) = 2$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ .

$(5, 10)$ é um mínimo local

$(1, 2)$ é um máximo local

Etapa 18