Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $y = x^{4} - 2 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x)$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 4 x$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

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Etapa 6.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 1, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 4$

Etapa 10.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 11

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Etapa 12.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 12.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Etapa 14.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 4$

Etapa 14.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$

Etapa 15

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Etapa 16.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 - 4$

Etapa 18.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 4$

Etapa 18.2

Subtraia $4$ de $12$ .

$8$

Etapa 19

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

Etapa 20.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Etapa 20.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Etapa 20.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (1) = - 1$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(- 1, - 1)$ é um mínimo local

$(1, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 22