Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.2.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (5 x^{4} \ln (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4} \ln (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} \ln (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{4} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.5

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.2.6.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Etapa 2.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Etapa 2.3.2.2

Some $4 x^{3}$ e $5 x^{3}$ .

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.2.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Etapa 4.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ .

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{4} + 5 x^{4} \ln (x) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{4}$ dos dois lados da equação.

$5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$ por $5 x^{4}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $5 x^{4} \ln (x) = - x^{4}$ por $5 x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4} \ln (x)}{5 x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4} \ln (x)}{5 x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} \ln (x)}{x^{4}} = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- x^{4}}{5 x^{4}}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 1}{5}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{1}{5}$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{1}{5}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{5}} = x$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{1}{5}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 5.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

$9 \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.3

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 3}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.3.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$9 \frac{1}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.4

Combine $9$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.7

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 3}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.7.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $3$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + 20 \frac{1}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.8

Combine $20$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 9.1.9

Mova $e^{\frac{1}{5}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \ln (e^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 9.1.10

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{5}})$ movendo $- \frac{1}{5}$ para fora do logaritmo.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5} \ln (e))$

Etapa 9.1.11

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 9.1.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} (- \frac{1}{5})$

Etapa 9.1.13

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{5}$ para o numerador.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{20}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Etapa 9.1.13.2

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{5 (4)}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Etapa 9.1.13.3

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{5 \cdot 4}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{- 1}{5}$

Etapa 9.1.13.4

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{4}{e^{\frac{3}{5}}} \cdot - 1$

Etapa 9.1.14

Combine $\frac{4}{e^{\frac{3}{5}}}$ e $- 1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{4 \cdot - 1}{e^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9.1.15

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} + \frac{- 4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9.1.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{e^{\frac{3}{5}}} - \frac{4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 - 4}{e^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{5}{e^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{5}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{5} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}})$

Etapa 11.2.3

Mova $e^{\frac{1}{5}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{5}})$

Etapa 11.2.4

Expanda $\ln (e^{- \frac{1}{5}})$ movendo $- \frac{1}{5}$ para fora do logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5} \cdot \ln (e))$

Etapa 11.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 11.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{5})$

Etapa 11.2.7

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{5}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = - \frac{1}{e \cdot 5}$

Etapa 11.2.8

Mova $5$ para a esquerda de $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}) = - \frac{1}{5 e}$

Etapa 11.2.9

A resposta final é $- \frac{1}{5 e}$ .

$y = - \frac{1}{5 e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{5} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{5}}}, - \frac{1}{5 e})$ é um mínimo local

Etapa 13