Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{5 x - x^{2}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 4.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0 + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$