Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{16 + h} - 4}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{16 + h} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{16 + h} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 16 + h} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 16 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{16 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{16 + lim_{h \to 0} h} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sqrt{16 + 0} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $16$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{16} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{16 + h} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{16 + h} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{16 + h} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{16 + h} - 4$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sqrt{16 + h}] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{16 + h}] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{16 + h}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 + h}$ como ${(16 + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(16 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 16 + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [16 + h] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [16 + h] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [16 + h] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 + h$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [16] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [16] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $16$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $16$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(16 + h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(16 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.13

Multiplique $\frac{{(16 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(16 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(16 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 4$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(16 + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(16 + h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{16 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 + h}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{16 + h}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 + h}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{16 + h}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{16 + h}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{16 + h}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 16 + h}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 16 + lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 + lim_{h \to 0} h}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Some $16$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 4.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$