Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.6

Some $4 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 2}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Some $- 4$ e $3$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 1}{- 2 - 2}$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$\frac{- 1}{- 4}$

Etapa 4.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{1}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$