Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{10} i (i^{2} + 1)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i^{2} + i \cdot 1$

Etapa 1.2

Multiplique $i$ por $i^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique $i$ por $i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$i^{1} i^{2} + i \cdot 1$

Etapa 1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$i^{1 + 2} + i \cdot 1$

Etapa 1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$i^{3} + i \cdot 1$

Etapa 1.3

Multiplique $i$ por $1$ .

$i^{3} + i$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{10} i^{3} + i = \sum_{i = 1}^{10} i^{3} + \sum_{i = 1}^{10} i$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} i^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $3$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{10^{2} {(10 + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $10$ e $1$ .

$\frac{10^{2} \cdot 11^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\frac{100 \cdot 11^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$\frac{100 \cdot 121}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $100$ por $121$ .

$\frac{12100}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $12100$ por $4$ .

$3025$

Etapa 4

Avalie $\sum_{i = 1}^{10} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{10 (10 + 1)}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $2$ de $10 (10 + 1)$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 (1)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 (10 + 1))}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (10 + 1)}{1}$

Etapa 4.3.1.2.4

Divida $5 (10 + 1)$ por $1$ .

$5 (10 + 1)$

Etapa 4.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $10$ e $1$ .

$5 \cdot 11$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $5$ por $11$ .

$55$

Etapa 5

Adicione os resultados das somas.

$3025 + 55$

Etapa 6

Some $3025$ e $55$ .

$3080$