Cálculo Exemplos

$\int \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Depois, $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 x} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = 1 + e^{2 x}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$0 + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 1.1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$0 + 2 e^{2 x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $2 e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + e^{2 x} |) + C$