Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 25}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 5 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 5 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(5 \sec (t))}^{2} - 25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{5^{2} \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t)) - 25}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $25$ de $- 25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $25$ de $25 \sec^{2} (t) + 25 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25 (\sec^{2} (t) - 1)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{25 \tan^{2} (t)}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $25 \tan^{2} (t)$ como ${(5 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(5 \tan (t))}^{2}}} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $5 \tan (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $5 \tan (t)$ de $5 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{5 \tan (t)} (5 \tan (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t$

Etapa 3

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{5})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{5})) + \tan (arcsec (\frac{x}{5})) |) + C$

Etapa 5

Reordene os termos.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{5} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{5} x)) |) + C$