Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Reorganize os termos.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Reescreva $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.1.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \sec (t) d t$

Etapa 3

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |) + C$

Etapa 5

Reordene os termos.

$\ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{2} x)) |) + C$