Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2}}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Reordene $4$ e $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Divida $x^{2}$ por $x^{2} + 4$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$4$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 0 + 4$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$4$
									-	$4$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C - \int \frac{4}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x + C - (4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Etapa 7

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7.2

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 7.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x + C - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$x + C - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$x + C - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Etapa 9.2

Simplifique.

$x - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Etapa 9.3

Reordene os termos.

$x - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C$