Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Etapa 1

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Etapa 3

Expanda $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.4

Subtraia $4$ de $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.7

Subtraia $4$ de $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.8

Reordene $1$ e $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Etapa 3.9

Mova $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Etapa 5

Como $- 3$ é constante com relação a $x$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Etapa 7

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Etapa 9.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$